椋鸟数据结构笔记#7：堆排序、TopK - 数据结构笔记 - 计算机科学

该系列为本人的学习笔记，主要由本人整理书写而成。部分内容来自教材、视频课程等，不能保证完全原创性。

萌新的学习笔记，写错了恳请斧正。

# 堆排序

堆排序，就是利用堆的思想进行排序，是一种非常高效的排序方法。

它的基本思想是将待排序的序列构建成一个堆，这样，序列的最大（最小）值就是堆顶的根节点。将其与堆的最后一个元素交换，然后将剩余的 n-1 个元素的序列重新构建成一个堆，这样就会得到 n 个元素的次大（小）值。如此反复执行，便能得到一个有序序列。

基本步骤如下：

建堆：将序列构建成堆，如果想要从大到小的序列，就构建大根堆，反正构建小根堆。
交换：将堆顶与最后一个元素交换，然后将堆容量减一（原堆顶不再视为堆中元素）。
向下调整：对顶元素向下调整，使得新的根节点为新堆的最大值。
重复上述过程直到完全排序。

这个过程看起来似乎也不简单，但是计算可发现其时间复杂度仅为 $O(n\log n)$ ，空间复杂度仅为 $O(1)$ 。

注意：堆排序是一种不稳定的原地排序算法，在进行堆顶和堆尾元素的交换时可能会破坏相同元素的相对顺序。

# 堆排序的实现

	#include <stdio.h>
	#include <stdlib.h>
	#include <time.h>

	//#define MIN_HEAP
	#define MAX_HEAP

	#ifdef MIN_HEAP
	#define HEAP_COMPARE(a, b) ((a) < (b))
	#endif // MIN_HEAP - 排序后由大到小
	#ifdef MAX_HEAP
	#define HEAP_COMPARE(a, b) ((a) > (b))
	#endif // MAX_HEAP - 排序后由小到大

	typedef int HPDataType;

	void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
	{
	HPDataType tmp = *a;
	a = b;
	*b = tmp;
	}

	void AdjustUp(HPDataType* data, int child)
	{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
	if (HEAP_COMPARE(data[child], data[parent]))
	{
	Swap(&data[child], &data[parent]);
	child = parent;
	parent = (child - 1) / 2;
	}
	else
	{
	break;
	}
	}
	}

	void AdjustDown(HPDataType* data, int size, int parent)
	{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
	if (child + 1 < size && HEAP_COMPARE(data[child + 1], data[child]))
	{
	++child;
	}
	if (HEAP_COMPARE(data[child], data[parent]))
	{
	Swap(&data[child], &data[parent]);
	parent = child;
	child = parent * 2 + 1;
	}
	else
	{
	break;
	}
	}
	}

	void HeapSort(HPDataType* a, int n)
	{
	// 建堆
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
	{
	AdjustDown(a, n, i);
	}

	// 排序
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
	Swap(&a[0], &a[n - 1 - i]);
	AdjustDown(a, n - 1 - i, 0);
	}
	}

	// 测试
	int main()
	{
	printf("请输入要排序的数字个数：");
	int n;
	scanf("%d", &n);
	HPDataType* a = (HPDataType)malloc(sizeof(HPDataType) n);
	// 文件输入
	FILE* fp = fopen("data.txt", "r");
	if (fp == NULL)
	{
	printf("文件打开失败\n");
	return 0;
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
	fscanf(fp, "%d", &a[i]);
	}
	fclose(fp);

	HeapSort(a, n);

	// 文件输出
	fp = fopen("output.txt", "w");
	if (fp == NULL)
	{
	printf("文件打开失败\n");
	return 0;
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
	fprintf(fp, "%d\n", a[i]);
	}
	fclose(fp);

	free(a);
	return EXIT_SUCCESS;
	}

	//// 生成随机数
	//int main()
	//{
	// srand((unsigned int)time(NULL));
	// printf ("请输入要生成的随机数个数：");
	// int n;
	// scanf("%d", &n);
	//
	// FILE* fp = fopen("data.txt", "w");
	// if (fp == NULL)
	// {
	// printf ("文件打开失败 \n");
	// return 0;
	// }
	// for (int i = 0; i < n; ++i)
	// {
	// fprintf(fp, "%d\n", rand());
	// }
	// fclose(fp);
	//
	// return EXIT_SUCCESS;
	//}

# TopK 问题

TopK 就是求数据集合中前 k 个最大或者最小的数据。

比较好想到的办法就是排序然后取前面 K 个值，但是如果数据量非常大，排序就会变的不太可能（无法全部加载到内存中。

而比较好的方式就是用堆来寻找 TopK，其思路如下：

用数据集合中前 K 个元素来建堆
- 取前 K 个最大元素则建小堆
- 取前 K 个最小元素则建大堆
用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素比较，如果不满足大小关系则替换堆顶元素并向下调整。

# 用堆实现 TopK 的时间复杂度

对于前 K 个元素构建堆的过程，时间复杂度是 $O(K)$ ；对于剩余的 N-K 个元素，每个元素都需要和堆顶元素进行比较，并可能需要插入堆中，这个过程的时间复杂度是 $O(\log K)$ （因为每次插入或删除堆顶元素都需要进行堆调整）。所以，对于所有的 N-K 个元素，时间复杂度是 $O((N-K) \log K)$ 。

综合起来，使用堆实现 TopK 的总时间复杂度是 $O(K + (N-K) \log K) = O(N \log K)$ 。

# TopK 问题的实现

	#include <stdio.h>
	#include <stdlib.h>
	#include <string.h>
	#include <time.h>

	#define MIN_HEAP
	//#define MAX_HEAP

	#ifdef MIN_HEAP
	#define HEAP_COMPARE(a, b) ((a) < (b))
	#endif // MIN_HEAP - 寻找前 k 个最大值
	#ifdef MAX_HEAP
	#define HEAP_COMPARE(a, b) ((a) > (b))
	#endif // MAX_HEAP - 寻找前 k 个最小值

	void AdjustDown(int* arr, int size, int parent)
	{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
	if (child + 1 < size && HEAP_COMPARE(arr[child + 1], arr[child]))
	{
	++child;
	}
	if (HEAP_COMPARE(arr[child], arr[parent]))
	{
	int temp = arr[child];
	arr[child] = arr[parent];
	arr[parent] = temp;
	parent = child;
	child = parent * 2 + 1;
	}
	else
	{
	break;
	}
	}
	}

	void CreateNDate()
	{
	// 造数据
	int n = 10000;
	srand((unsigned int)time(NULL));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
	perror("fopen error");
	return;
	}

	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
	int x = rand();
	fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
	}

	void PrintTopK(int k)
	{
	FILE* fin = fopen("data.txt", "r");
	if (fin == NULL)
	{
	perror("fopen error");
	return;
	}
	int val = 0;
	int* arr = (int)malloc(sizeof(int) k);
	if (arr == NULL)
	{
	perror("malloc error");
	return;
	}
	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
	fscanf(fin, "%d", &val);
	arr[i] = val;
	}
	// 前 k 个数建堆
	for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; --i)
	{
	AdjustDown(arr, k, i);
	}
	int x = 0;
	while (fscanf(fin, "%d", &x) != EOF)
	{
	if (!HEAP_COMPARE(x, arr[0]))
	{
	arr[0] = x;
	AdjustDown(arr, k, 0);
	}
	}
	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
	printf("%d ", arr[i]);
	}
	}

	int main()
	{
	int k = 0;
	printf("请输入要找的前k个数：");
	scanf("%d", &k);
	CreateNDate();
	PrintTopK(k);
	return 0;
	}

数据结构排序二叉树堆

# 堆排序

# 堆排序的实现

# TopK 问题

# 用堆实现 TopK 的时间复杂度

# TopK 问题的实现

椋鸟数据结构笔记#6：堆及其实现

椋鸟数据结构笔记#8：二叉树的遍历、创建与销毁